高中數學：等差數列求和公式 求和的七種辦法，你都市了嗎？

數學大師

文章泉源：高中數學

等差數列是稀有數列的一種，可以用AP表現，假如一個數列從第二項起，每一項與它的前一項的差即是同一個常數，這個數列就叫做等差數列，而這個常數叫做等差數列的公差，公差常用字母d表現。

等差數列求和公式

1.公式法

2.錯位相減法

3.求和公式

4.分組法

有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列得當拆開，可分為幾個等差、等比或稀有的數列，然后分散求和，再將其兼并即可.

5.裂項相消法

實用于分式情勢的通項公式，把一項拆成兩個或多個的差的情勢，即an=f(n+1)－f(n)，然后累加時抵消正中的很多項。

【小結】此類變形的特點是將原數列每一項拆為兩項之后，此中正中的大局部項都互相抵消了。只剩下僅限的幾項。
注意：余下的項具有如下的特點1、余下的項前后的地點前后是對稱的。2、余下的項前后的正負性是相反的。

6.數學總結法

尋常地，證實一個與正整數n有關的命題，有如下步調：（1）證實當n取第一個值時命題建立；（2）假定當n=k（k≥n的第一個值，k為天然數）時命題建立，證實當n=k+1時命題也建立。

【例】求證：1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + n(n+1)(n+2)(n+3) = [n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)]/5

證實：當n=1時，有：1×2×3×4 = 24 = 2×3×4×5/5

假定命題在n=k時建立，

于是：1×2x3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + .…… + k(k+1)(k+2)(k+3) = [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5

則當n=k+1時有：

1×2×3×4 + 2×3×4×5 + 3×4×5×6 + …… + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= 1×2×3×4 + 2×3×4*5 + 3×4×5×6 + …… + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= [k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)]/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)

= (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1)

= [(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)]/5

即n=k+1時原等式仍舊建立，總結得證

7.并項求和法

（常接納先嘗試后求和的辦法）【例】1－2+3－4+5－6+……+（2n-1）-2n

辦法一：（并項）求出奇數項和偶數項的和，再相減。

辦法二：（1－2）+（3－4）+（5－6）+……+[（2n-1）-2n]

辦法三：布局新的數列，可借用等差數列與等比數列的復合。an=n(-1)^（n+1）

等差數列推斷及其實質

等差數列的推斷
（1）a(n+1)--a(n)=d (d為常數、n ∈N*）[或a（n)--a(n-1)=d，n ∈N*，n ≥2,d是常數]等價于{a(n)}成等差數列。
（2）2a(n+1)=a(n)+a(n+2) [n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。
（3）a(n)=kn+b [k、b為常數,n∈N*] 等價于{a(n)}成等差數列。
（4）S(n)=A(n)^2 +B(n) [A、B為常數，A不為0，n ∈N* ]等價于{a(n)}為等差數列。

特別實質
在有窮等差數列中，與首末兩項距離相稱的兩項和相稱。并且即是首末兩項之和；特別的，若項數為奇數，還即是正中項的2倍,即，a(1)+a(n)=a(2)+a(n-1)=a(3)+a(n-2)=···=2*a中

【例】數列：1，3，5，7，9，11中

a(1)+a(6)=12 ;

a(2)+a(5)=12 ;

a(3)+a(4)=12 ;

即，在有窮等差數列中，與首末兩項距離相稱的兩項和相稱。并且即是首末兩項之和。

數列：1，3，5，7，9中

a(1)+a(5)=10 ;

a(2)+a(4)=10 ;

a(3)=5=[a(1)+a(5)]/2=[a(2)+a(4)]/2=10/2=5 ;

即，若項數為奇數，和即是正中項的2倍，另見，等差中項。

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