數學中的無量大和無量小畢竟是什么？

自數學提高以來，無量大就不休困擾著人類。我們必需熟悉到，無量大不是一個具體的數，而是一個想法，它只存在于籠統中。

無量大很奇異

無量大不克不及是一個具體的數，好比說是x，我們可以依據加法的邏輯，x加一，就創造了一個新的無量數。之后我們還可以再加一，天生一個更大無量數。實踐上，我們可以無量大加上無量大，創造出一切無量的無量，然后我們可以再加上一，循環往復。

無量大的不和被稱為無量小，它的實質也相反奇異。與整數不同的是，實數不是安穩的，它們的崩潰實質使我們可以在隨意兩個數之間找到并創造多數個數。

?一個數可以被多次組合，多次支解。在0和1之間約莫有100個數，從0.01到0.99之間乃至是幾百萬個，只必要在小數點后加0，不休支解這個數，就會產生很多新的數。因此，固然0.00000000000000001 看起來很小，但可以把它除以10，從而創建一個新的無量小的0.000000000000000001。

因此，就像無量大一樣，無量小只存在于籠統中，但它的不確定實質不僅對數學家來說好壞常令人不安的，對物理學家來說也是如此。

無量小的偏差

數學是我們用來表達物理頭腦的言語，以是在我們對實際實質的熟悉中，數學上的不一律意味著物理上的不一律。這個不一律是由于我們不確定無量小的值，無量小的值不休被用來推導很多緊張的公式。內幕上，數學的一個分支都創建在無量小的基本上，假如沒有它，物理學的提高就會很緩慢。

舉個例子，圓的面積公式。開普勒經過將一個圓分紅多個三角形來盤算它的面積。因此，圓的面積就是每個三角形的面積之和。一個圓可以被分紅有兩個直徑的四個三角形，但是，這些三角形的邊并不克不及準確地近似曲線（掃除了一些空間），以是盤算的面積是錯誤的。

為了變小這個偏差，我們可以畫出更多的直徑來創造更多的短邊三角形。固然偏差以這種辦法變小了，但仍舊不為零。因此，我們進一步將圓分紅越來越多的三角形，直到沒有空間被掃除在外。但是，為了完全消弭這個錯誤，我們必需將它區分為無窮多個三角形。由于一條直線可以被表明為一個大圓的一局部，我們可以說，這個圓是由無窮的線構成的，這是由無窮三角形無量小的底邊來迫近的。

人們約莫會注意到，三角形的序列讓人想起了中國扇子。一切三角形都面積相稱，我們可以經過疏散或拉伸這個面積來把扇子變成一個大直角三角形。它們的周長改動了，但是整個面積仍舊是一樣的。這個直角三角形的頂端是圓的圓心，它的高度是扇形的長度，即圓的半徑，底邊是圓的周長。面積是1/2乘以底乘以高，也就是1/2乘以r乘以2πr ，即是πr^2。這是準確的答案，但后果仍舊是錯誤的。這些底邊必需真正是無窮小的，以是即使開普勒畫了十分十分小的三角形，我們曉得他還可以畫得更多。當他中止畫三角形的時分，他就留下了空間，固然真的是極小的空間，但仍舊不是零。曲線沒有完全近似，圓的面積盤算是有點錯誤的。固然這約莫會讓數學家感受不愜意，但大大多人忽略了這些差別。

由萊布尼茨和牛頓獨立創造或發覺的微積分，也是創建在無量小的基本上的。這條數學分支是關于曲線，關于厘革的。比如，當我們對一個函數做積分運算時，我們實踐上是盤算它所畫曲線下的面積。但是，就像盤算一個圓的面積一樣，我們經過近似無量小的矩形曲線來盤算它。矩形越細，偏差就越小。

一個矩形的面積是它長度，即曲線上的誰人點在y軸上的值乘以它的寬度，即我們稱之為dx的無量小單位。我們盤算每個矩形的面積并對它們求和來確定曲線下的面積。這在物理上很有效，比如，一個物體速率曲線下的面積給出了位移值，但是后果不應該是錯誤的？就像圓的面積一樣？

微積分顯現后，這個難以根除、無法處理的成績困擾了數學家們兩個世紀，直到“極限”的看法被改良。在牛頓和萊布尼茨的研討中，極限是相對的，但在19世紀早前，它們被修正和重新界說。這些新看法在數學上是嚴謹和一律的。固然極限使得數學家終極掙脫無量小，但我們還沒有處理的是無量大。