悲傷的平行線會有相遇的一天嗎？

傷心的平行線會有相遇的一天嗎？

提起平行線，各位都不生疏——兩段平行延伸的鐵軌、好壞相間的斑馬線，這都是生存中可以察看到的平行線，在文學作品中我們也會看到如此的形貌：“兩一局部就像平行線一樣，永久沒有交集”。

在我們的印象中，平行線具有永不相交的實質。但有人卻說：“平行線在無量遠點交于一點”。

那平行線之間畢竟有沒有交點？它們畢竟會不會在無量遠點相遇呢？

圖1 平行鐵軌 圖片泉源：百度百科

要弄明白這個成績，我們必要先了解平行線永不相交這個說法是怎樣來的。

平行線誕生于平面幾多第五正理

古希臘數學家，幾多學之父歐幾里得在研討幾多學的時分，發覺了有些幾多學知識屬于顛末人類長時反復的實踐標明準確，不必要由別的知識推出。于是歐幾里得在《幾多原本》中給出了五大正理[1]，并以此為基本構建了幾多學體系。這五大正理為：

正理1：隨意一點到別的隨意一點可以畫直線

正理2：一條僅限線段可以持續延伸

正理3：以隨意點為心及隨意的距離可以畫圓

正理4：凡直角都互相相稱

正理5：同平面內一條直線和別的兩條直線相交，若在某一側的兩個內角和小于二直角的和，則這兩條直線經無窮延伸后在這一側相交。

在五大正理中，前四個看著都比力簡便明白，第五正理則相對啰嗦。

厥后的研討推導標明，第五正理與以下兩個說法等價——一是，三角形的內角和為180度；二是，過直線外一點，有且僅有一條直線不與該直線相交。

而第二個說法中兩條永久不相交的直線則被稱作平行線。這便是平行線永不相交這一說法產生的緣故。也正由于第五正理與平行干系，該正理又被稱為平行正理。

非歐幾多VS平行正理

從平面幾多第五正理提出以來，數學家們就開頭思索一個成績：這一正理可否被別的正理交換？

19世紀，高斯、巴切夫斯基、波爾約等人各自獨立實驗了使用不同的平行正理。終極依據過直線外一點能做幾條直線與已知直線平行，構成了羅巴切夫斯基幾多和黎曼幾多兩大新的幾多體系。

由于這兩大要系與歐幾里得幾多學不同，以是又被統稱為“非歐幾多”。

羅巴切夫斯基幾多，簡稱為羅氏幾多，以為過直線外一點最少能做出兩條直線與已知直線平行。

圖2 羅氏幾多 圖片泉源：百度圖片

圖2所示的雙曲面外貌地展現了這一情況。在一個雙曲面上，由于空間的彎曲，過直線外一點可以畫出好幾條與已知直線平行的直線。

由于這一幾多刻畫的是雙曲面空間中的情況，以是也被稱為“雙曲幾多”。

在如此的雙曲空間中，過直線外的一點，可以做出多條直線與已知直線平行。別的，在雙曲空間中隨意做出一個三角形，三角形內角和小于平面幾多中的內角和（180°）。

黎曼幾多，則假定過直線外一點不存在與已知直線平行的直線。羅氏幾多思索的是雙曲面中的幾多學，黎曼幾多思索的則是橢圓空間中的幾多學。

因此，黎曼幾多也被稱為“橢圓幾多”。

圖3 黎曼幾多 圖片泉源：百度圖片

圖3外貌地展現了黎曼幾多的特點。在一個橢圓空間中，三角形內角和小于180度。并且由于橢圓空間中一切直線都顛末橢圓空間最頂端的無量遠點，過直線外一點做不出已知直線的平行線。

這也是我們常說的“平行線交于無量遠點”這一說法的泉源。

實踐上，依照幾多學的界說，當我們使用黎曼幾多研討成績的時分，一切直線交于無量遠點，也就不存在平行線的看法了，由于在數學的界說上，稱為平行線，就必需是同一平面內永久不相交的直線。

從這個角度講，“平行線交于無量遠點”是一個數學上的偽命題，但卻具有一定的藝術代價。

非歐幾多有何使用代價？

平面幾安在我們的實踐生存中有著十分大的使用代價。小到機器制造，大到地域信息丈量，都離不開平面幾多的盤算。這也是為什么我們從小到大學習的都是平面幾多。

那非歐幾多就是數學家們拍腦殼拍出來的嗎？非歐幾多有沒有使用代價呢？

答案是一定的。

非歐幾安在特定的空間、特定的成績中具有很高的使用代價。

從上文中我們可以看到，非歐幾多主要用來研討雙曲空間、橢圓空間這兩種非平面空間中的幾多學成績。而非平面空間在我們的實踐生存中也是廣泛存在的。

非平面空間的顯現，最稀有的有兩種情況：

第一種情況是大質量天體招致的空間歪曲。

依據廣義相對論的干系實際，在大質量天體四周，空間會產生較為分明的彎曲。在平常生存中我們會發覺，假如將一個重球放在支起來的布上，重球就會將布料壓彎。

而在宇宙中，大質量天體就是產生欺壓的重球，空間布局就是支起來的布料，最初就會像圖4一樣，在大質量天體的周圍，產生一定的空間彎曲。

圖4 大質量天體產生分明空間彎曲 圖片泉源：百家號

在如此的彎曲空間中舉行宇宙飛行時，平面幾多的干系知識就不再實用，反而好壞歐幾多有了用武之地。單個天體產生的空間彎曲接近橢圓面，而多個天體則約莫在交界地區產生接近于雙曲面的彎曲空間。

假如人類有一天邁向宇宙的星斗大海，依據非歐幾多盤算清晰彎曲空間中的幾多干系，是完成宇宙飛行必不成少的武藝。

第二種非平面空間是活著平面本身存在易無視的曲率。

我們生存的地球，但是本身就是一個橢球面。當我們在太空中察看地球時，很容易發覺地球外表存在彎曲。這時分關于地球中幾多干系，就可以經過空間平面平面幾多舉行分析。

但是假如我們只在大地上舉行觀察，無法取得太空中的視角，那地球外表這個二維空間中的幾多干系，但是就切合橢圓幾多的干系實質。

基于地球外表的這種特點，黎曼幾多可以被用于地球外表的度量之中。經過基于黎曼幾多的辦法，關于地球外表的測地線舉行研討，“測地幾多”這一門學科就創建起來了。

因此，在地球外表研討地域信息、航空帆海等成績時，非歐幾多中的黎曼幾多就有著很高的使用代價。

最初，回到我們最開頭的成績，平行線本身的數學界說就是沒有交點的，平行線也不會在無量遠點相遇。只是在黎曼幾多中，兩條看上去“平行”的直線會在無量遠點相遇，但它們本性上不屬于平行線。

固然平行線注定不會相遇，但是對平行線安靜面幾多第五正理的研討，卻產生了羅氏幾多、黎曼幾多么非歐幾里得幾多學，并在各方各面有著廣泛的使用。數學研討很多時分都是如此，看上去奇思妙想的“無用之舉”，最初反而在實踐生存中找到了妙用。

參考文獻：

[1]歐幾里得著, 蘭紀正, 朱恩寬. 歐幾里得幾多原本[M]. 陜西封建武藝出書社, 2003

出品：科普中國

作者：飯堂科普
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