什么是二項分布？

什么是二項分布？

二項分布（Binomial distribution）

二項分布是一種具有廣泛用處的散伙型隨機變量的概率分布，它是由貝努里始創的，以是又叫貝努里分布。

二項分布是指統計變量中僅有實質不同的兩項群體的概率分布。所謂兩項群體是按兩種不同實質區分的統計變量，是二項實驗的后果。即各個變量都可歸為兩個不同實質中的一個，兩個觀察值是對峙的。因此兩項分布又可說是兩個對峙事變的概率分布。

二項分布的剖析

二項分布用標記b(x．n．p)，表現在n次實驗中有x次告捷，告捷的概率為p。

二項分布的概率函數可寫作：

式中x＝0、1、2、3．．．．．n為正整數

兩項分布中含有兩個參數n與p，當它們的值已知時，便可盤算出分布列中各概率的值。

例1 擲硬幣實驗。有10個硬幣擲一次，或1個硬幣擲十次。問五次正面向上的概率是幾多?

解：依據題意n＝10，p＝q＝1/2，x＝5

以是五次正面向上的概率為0．24609

此題若問五次及五次以上正面向上的概率是幾多?

解：此題要求出五次及五次以上正面向上的概率之和。正面有五次、六次、七次、八次、九次、十次。依公式5—9應為：

C105p5q10?5 + C106p6q10?4 + C107p7q3 + C108p8q2 + C109p9q1 + C1010p10q0

= 252/1024+210/1024+120/1024+45/1024+10/1024+1/1024

= 638/1024

= 0．623

五次及五次以上正面向上的概率為0．623

此題各項掀開式的系數，若用楊輝三角盤算也十分便利。讀者：前方的楊輝三角寫到(p + q)10。試比力五次及五次以—LK面向；的各項系數對否為252、210、120、45、10、1。

二項分布的實質

(一)二項分布是散伙型分布，概坦白方圖是躍階式的。由于x為不一連變量，用概率條圖表現更切合，用直方圖表現只是為了更外貌些。

1．當p＝q時圖形是對稱的

例2 (p + q)6，p=q＝1/2，各項的概率可寫作：

p6 + 6p5q + 15p4q2 + 20p3q3 + 15p2q4 + 6plq5 + q6

= 1/64+6/64+15/64+20/64+15/64+6/64+1/64

= 1

2．當p≠q時，直方圖呈偏態，p<q與p>q的偏斜朝向相反。假如n很大，即使p≠q，偏態漸漸低落，終極成正態分布，二項分布的極限分布為正態分布。故當n很大時，二項分布的概率可用正態分布的概率作為近似值。何謂n很大呢?平常劃定：當p<q且np≥5，或p>q且nq≥5，這時的n就被以為很大，可以用正態分布的概率作為近似值了。

(二)二項分布的均勻數與標準差

假如二項散充滿意p<q，np≥5，(或p>q，np≥5)時，二項分布接近正態分布。這時，也僅僅在這時，二項分布的x變量(即告捷的次數)具有如下實質：

μ = np (5—10a)

(5—10b)

即x變量具有μ = np ,

的正態分布。

式中n為獨立實驗的次數，

p為告捷事變的概率，q＝1- p。 由于n很大時二項分布迫近正態分布，其均勻數，標準差是依據實際推導而來的，故用μ和σ而不必X和S表現。它們的含義是指在二項實驗中，告捷的次數的均勻數μ = np ，告捷次數的疏散程

。比如一個擲10枚硬幣的實驗，顯現正面向上的均勻次數為5次(μ= np＝

)，正面向上的分布水平為10×（1/2）×（1/2）＝ 1．58(次)，這是依據實際的盤算，而在實踐實驗中，有的人可得10個正面向上，有人得9個、8個……，人數越多，正面向上的均勻數越接近5，疏散水平越接近1．58。

二項分布的使用條件

1．各察看單位只能具有互相對峙的一種后果，如陽性或陰性，活著或殞命等，屬于兩分類材料。

2．已知產生某一后果（陽性）的概率為π，其對峙后果的概率為1-π，實踐事情中要求π是從多量察看中取得比力安定的數值。

3．n次實驗在相反條件下舉行，且各個察看單位的察看后果互相獨立，即每個察看單位的察看后果不會影響到其他察看單位的后果。如要求疾病無影響性、無家屬性等。

二項分布的使用

項分布在心思與教導研討中，主要用于處理含天然遇實質的成績。所謂機會成績，即指在實行或觀察中，實行后果約莫是由 ?推測而形成的。好比，選擇標題標回復，劃對劃錯，約莫完全由推測形成。凡此類成績，欲區分由推測而形成的后果與真實的后果之間的界線，就要使用二項分布來處理。

例3有正誤題10題，問答題者答對幾題才干以為他是真會，大概說答對幾題，才干以為不是出于推測要素?

此題p＝q=1/2，即猜對猜錯的概率各為0．5。np≥5，故此二項分布接近正態分布：

依據正態分布概率，當Z=1.645時，該點以下包含了全體的95％。假如用原分數表現，則為

它的意義是，完全憑推測，10題中猜對8題以下的約莫性為95％，猜對8、9、10題的概率只5％。因此可以推論說，答對8題以上者不是憑推測，而是會答。但應該明白：作此結論，也仍舊有出錯誤的約莫，即那些完全憑推測的人也有5％的約莫性答對8、9、10道題。

此題的概率值，還可用二項分布函數直接盤算，亦得與正態分布近似的后果：

依據概率加法，答對8題及其以上的總概率為：45/1024+10/1024+1/1024＝56/1024 = 0．0547 同理，可盤算8題以下的概率為 95％。(近似)．

例4有10道多重選擇題，每題有5個答案，此中僅有一個是準確的。問答對幾題才干說不是猜的后果?

此題n＝10，p＝1/5 = 0．2，q = 0．8，np<5，故此題不接近正態分布，不克不及用正態分布盤算概率，而應直接用二項分布函數盤算猜時各題數的概率：

依據以上所盤算的猜對各題數的概率，可用概率加法求得猜對5題及5題以上的概率為0．03279，不敷5％，故可推論說答對5題以上者可算真會，作此結論仍有3．3％出錯誤的約莫。

若上例中題數增長到30題，則np>5，就可用正態分布的概率盤算：

因此可得結論，答對10題或10題以上，才干被以為是真會。作此結論出錯誤的概率為5％。

假如想使推論出錯誤的概率降為1％，則依據正態分布可求得此時的z＝2.33，使用相反的盤算辦法，只將2.33代替1.645，可求得臨界的分數(或答對的題數)。

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