微分學中心定理——中值定理

拉格朗日中值定理：

拉格朗日中值定理說，假如一個函數f(x)在閉區間[a,b]上是一連的，在開區間(a,b)內可導，那么在(a,b)內最少存在一點ξ，使得

或

拉格朗日中值定理的意思就是：

毗連圖像上兩個點 A、B畫一條線，要求畫出的線每個點都一連可導，那么你畫出的這條線中最少會有一個點處的切線是與毗連 A、B的直線平行的。

我們可以用一個直觀的例子分析這此中值定理的意思：

有一輛汽車增速行駛，用8秒時間將距離從0推進到200米，很容易算出這8秒鐘內汽車的均勻速率為25米/秒，那么在這8秒內一定有某一時候汽車的速率恰好是25米/秒。

底下，柯西表現有話要說：

柯西中值定理：

柯西中值定理說，假如函數f(x)和F(x)在閉區間[a,b]上是一連的，在開區間(a,b)內可導，并且對任一x∈(a,b)有F'(x)≠0，那么在(a,b)內最少存在一點ξ，使得

如此寫約莫不佳了解，但是我們厘革一下各位看是不是就很熟習了：

這不就是剛剛拉格朗日中值定理的別墅二層小樓情勢么，以是這里就不外多表明

柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推行，是微分學的基本定理之一。其幾多意義為，用參數方程表現的曲線上最少有一點，它的切線平行于兩頭點地點的弦。該定理可以視作在參數方程下拉格朗日中值定理的表達情勢。

柯西中值定理大略地標明，關于兩個端點之間的給定平面弧，最少有一個點，弧的切線經過其端點平行于切線。

與拉氏定理的接洽

在柯西中值定理中，若取g(x)=x時，則其結論情勢和拉格朗日中值定理的結論情勢相反。

因此，拉格朗日中值定理為柯西中值定理的一個特例；反之，柯西中值定理可看作是拉格朗日中值定理的推行。

證實：

幾多意義

若令u=f(x) , v=g(x)，這個情勢可了解為參數方程，而f(b)-f(a)/g(b)-g(a)則是毗連參數曲線兩頭點弦的斜率，f'(ξ)/g'(ξ)表現曲線上某點處切線的斜率，在定理的條件下，結論可了解如下：

用參數方程表現的曲線上最少有一點，在這一點處的切線平行于毗連兩個端點的弦。

使用例子

1.泰勒公式

柯西中值定理最主要的使用是證實帶有拉格朗日余項的n階泰勒公式，只需反復使用柯西中值定理多次就能證實，底下以n=1為例分析。

例 1

設f(x)在(a,b)內二次可微，證實：隨意的x , x0∈(a,b)，在x , x0之間存在ξ，使

這就是函數f(x)在點x0鄰域內的一階泰勒公式。

證實：令

G(x)=(x-x0)2使用

在兩次使用到柯西中值定理后可以取得：

命題得證。

2.洛必達端正

柯西中值定理的一個最緊張的使用就是可以推導盤算待定型的極限最好效的辦法——洛必達端正。

洛必達端正是求兩個無量小量或兩個無量多量的比的極限。在滿意一定條件下可以化成兩個函數的導數的比值極限，如此就有約莫使得原待定型變成笨重而好效的求非待定型極限的成績。

我們得出底下這個定理（洛必達端正）：

⑴ 兩個函數f(x)和g(x)在開區間(a,b)可微，并且在這個開區間上，g(x)的導數不即是0；

⑵ 存在極限

此中A為一個僅限的常數。則在以下情況下：

大概

那么就有：

在區間的另一個端點也存在相相似的后果。這個定理就稱之為洛必達端正，能好效地使用于待定型的極限盤算。

3.不等式

柯西中值定理在不等式的證實也有廣泛使用，緊張是f(x)和g(x)要選得得當。

例2

試證實當x>0時，1+x ln(x+√1+x2)>√1+x2。

證實：設

則f(t)和g(t)在區間[0,x]上滿意柯西中值定理條件，以是存在ξ∈(0,x)，使

即

結論得證。

4.中值點

中值點的存在性的證實是柯西中值定理最典范的使用之一。

例3

設a>0，函數f(x)在區間[a,b]上一連，在(a,b)內可導，則存在ξ∈(a,b)，使得

證實：設F(x)=f(x)/x，G(x)=1/x，顯然F(x),G(x)在[a,b]上滿意柯西中值定理的條件，于是存在ξ∈(a,b)，使得

即存在ξ∈(a,b)，使得

即可得結論。

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