橢圓的界說及其方程推導

橢圓與圓的干系

圓是一個很簡便很對稱的圖形，它是平面中到圓心的距離為定值的一切點構成的圖形。橢圓是對圓界說的一個擴展，它是平面中到兩個點的距離之和為定值的一切點構成的圖形，這兩個點被稱為核心、兩個點之間的距離稱為焦距。當兩個核心重適時，橢圓也就變成了圓。

假定有一條繩子，它的兩個端點是安穩的，繩子長度凌駕兩個安穩點的距離，拿一枝筆將繩子拉直，用這支筆繞一周畫出來的圖形軌跡就是橢圓，兩個安穩端點就是橢圓的核心。

橢圓的外形、朝向

橢圓是一個平面圖形，關于平面圖形我們通常會想辦法創建坐標系來舉行表現。橢圓界說中沒有指定兩個核心的地點和朝向，因此橢圓的輕重、地點和朝向都是可以厘革的。由于橢圓是一個對稱的圖形，同時滿意軸對稱和中央對稱，因此，為了簡便起見，通常拔取原點作為橢圓的對稱中央，兩個坐標軸作為橢圓的對稱軸，那么此時橢圓核心應該是坐標軸上兩個對稱的點。

給定以上條件之后，橢圓方程的求解就不難了。底下我會給出核心在x軸上的橢圓方程的推導。

橢圓方程的推導

以x軸上兩點A(-c, 0)、B(c, 0)作為核心，求到兩個核心的距離為2a的橢圓方程。

假定橢圓上隨意一點的坐標為C(x, y), 那么

兩邊平方并化簡

依據橢圓的界說，a>c，那么

那么可假定

此時橢圓方程可化簡為

這就是核心在x軸對稱點上的橢圓標準方程。

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